Matière : Maths

C’est quoi un cercle ?

Tout d’abord, je rappelle qu’un cercle, c’est une ligne courbe fermée. Tous les points de cette ligne sont à la même distance d’un point central qu’on appelle le centre du cercle. Par exemple, si le centre est le point O, tous les points du cercle sont à la même distance de O. Cette distance, c’est le rayon. En fait, le rayon d’un cercle, c’est un peu comme le rayon d’un vélo.

C’est quoi un rayon ?

Le rayon, c’est un segment qui relie le centre à un point du cercle. Par exemple, si je trace le segment [OA], que je mets entre crochets pour dire segment, alors [OA] est un rayon.

C’est quoi un diamètre ?

Un diamètre, c’est un autre segment qui passe par le centre et qui relie deux points du cercle. Il est deux fois plus long que le rayon. Donc, si le rayon mesure 4 cm, le diamètre fait 8 cm.

Le disque, le demi cercle et l’arc de cercle

Pour ne pas se tromper, on peut utiliser un tableau de proportionnalité. Il permet de calculer toutes les longueurs de façon organisée. Regarde, par exemple, pour agrandir une figure par 3, je fais un tableau. Pour ma figure de départ, j’ai deux carreaux. La figure agrandie, j’ai 6 carreaux. J’ai fait × 3. Si j’ai 4 carreaux, ça devient 12 carreaux. Si j’ai 6 carreaux, ça devient 18 carreaux. On multiplie chaque valeur par 3.

Comment on trace un cercle ?

Eh bien, on prend un compas, on place la pointe sur le centre et l’on ouvre le compas à la longueur du rayon. Puis on tourne et voilà, on obtient un cercle.
OK, donc si je veux tracer un diamètre de 6 cm, je prends le compas et je l’ouvre à 6 cm.
Ah non, attention, c’est une erreur fréquente. Si tu ouvres le compas à 6 cm, tu traces un rayon de 6 cm, pas un diamètre. Si tu veux un diamètre de 6 cm, il faut ouvrir le compas à 3 cm, car le rayon est la moitié du diamètre. On n’ouvre jamais le compas à la longueur du diamètre, toujours à celle du rayon.

Exercices sur décrire et tracer un cercle

Allez, à toi maintenant, derrière ton écran. Premier exercice, entoure le bon mot dans chaque phrase. Mets pause.

Réponse

Un cercle, c’est une ligne courbe. Le segment qui relie le centre à un point du cercle est le rayon. Le segment qui relie deux points du cercle en passant par le centre est le diamètre. La surface délimitée par un cercle s’appelle un disque. La moitié d’un cercle est un demi-cercle.

Maintenant, je te propose de compléter les égalités entre rayons et diamètres. Mets pause.

Réponse

Si le rayon mesure 4 cm, le diamètre mesure 8 cm, puisque le diamètre est le double du rayon. Donc, si le diamètre, cette fois-ci, mesure 12 cm, le rayon mesure 6 cm. Si le rayon mesure 3,5 cm, le diamètre mesure 7 cm. Si le diamètre mesure 18 cm, le rayon mesure 9 cm. Et si le rayon mesure 0,7 cm, le diamètre mesure 1,4 cm. Mets pause et compare avec ce que tu avais écrit.

Pour le dernier exercice, je te propose de réaliser les tracés suivants sur une feuille blanche. D’abord, trace un cercle de centre A et de rayon 5 cm. Ensuite, trace un diamètre de 8 cm, puis tu construis le demi-cercle. Ensuite, tu traces un cercle de centre B et de rayon 3 cm. Tu traces un arc de cercle entre deux points du cercle. Puis tu traces un rayon de 4 cm à partir du point C. Puis tu traces le cercle complet et, enfin, tu traces deux cercles de centres différents, mais avec le même rayon de 2 cm. Mets pause.

Réponse

D’abord, je trace un cercle de centre A et de rayon 5 cm. Donc, je trace un point A. J’ouvre mon compas à 5 cm. Je mets la pointe sur A et je le trace.
Ensuite, trace un diamètre de 8 cm. Voilà. Puis je construis le demi-cercle. Donc, j’ouvre mon compas à 4 cm, à la taille du rayon, et je trace le demi-cercle, pas le cercle.
Puis je trace un cercle de centre B et de rayon 3 cm. Voilà. Ensuite, je trace un arc de cercle entre deux points du cercle, n’importe lesquels. Voilà.
Je trace un rayon de 4 cm à partir du point C. Voilà. Puis je trace le cercle complet. Ensuite, je trace deux cercles de centres différents, mais avec le même rayon de 2 cm.

Résumé décrire et tracer un cercle

Je récapitule. Un cercle est une ligne courbe fermée. Tous ses points sont à la même distance du centre. Le rayon relie le centre à un point du cercle. Le diamètre passe par le centre et relie deux points du cercle. Il est deux fois plus long que le rayon. Le disque est l’intérieur du cercle. Un demi-cercle est la moitié d’un cercle découpé par un diamètre et un arc de cercle est une portion de la courbe du cercle.

Outro et fiche d’exercices pour décrire et tracer un cercle

Maintenant, tu sais mieux ce que sont les cercles, les demi-cercles, les rayons, les diamètres, les disques, etc. Tu pourras continuer à t’entraîner dans quelques jours avec cette fiche qui est sur le site maitrelucas.fr, sous cette vidéo.

Les règles pour agrandir et réduire une figure

Quand on agrandit ou réduit une figure, on veut obtenir une nouvelle figure qui a exactement la même forme que l’originale, mais dans une taille différente. Pour que la forme soit conservée, il y a deux règles. La première, on multiplie pour agrandir ou l’on divise pour réduire toutes les longueurs par le même nombre. La deuxième, les angles ne changent pas.

Un angle droit reste un angle droit, un angle aigu reste un angle aigu. Ce nombre par lequel on multiplie ou l’on divise toutes les longueurs s’appelle le coefficient. Par exemple, pour agrandir par 2, toutes les longueurs sont multipliées par 2. Réduire par 3, toutes les longueurs sont divisées par 3. Agrandir par 1,5, toutes les longueurs sont multipliées par 1,5.

Pour agrandir une figure sur quadrillage, on voit que chaque longueur est exprimée en nombre de carreaux. Pour agrandir ou réduire, on compte les carreaux de chaque côté et l’on applique le coefficient. Par exemple, un rectangle de trois carreaux de longueur et deux carreaux de largeur, agrandi par 2. On fait longueur : 3 × 2, ça fait 6 carreaux. Pour la largeur : 2 × 2, ça fait 4 carreaux. On obtient un rectangle de 6 carreaux × 4 carreaux. La forme est identique, juste deux fois plus grande.

Pour les figures complexes, on procède côté par côté. On mesure chaque segment en carreaux, on applique le coefficient et l’on reporte la nouvelle longueur sur le quadrillage.

Tableau de proportionnalité

Pour ne pas se tromper, on peut utiliser un tableau de proportionnalité. Il permet de calculer toutes les longueurs de façon organisée. Regarde, par exemple, pour agrandir une figure par 3, je fais un tableau. Pour ma figure de départ, j’ai deux carreaux. La figure agrandie, j’ai 6 carreaux. J’ai fait × 3. Si j’ai 4 carreaux, ça devient 12 carreaux. Si j’ai 6 carreaux, ça devient 18 carreaux. On multiplie chaque valeur par 3.

Comment réduire une figure ?

Et pour une réduction par 2, on fait la même chose. La figure de départ fait quatre carreaux. La figure réduite, deux carreaux. Je divise par 2. La figure de départ, 6 carreaux, la figure réduite, 3 carreaux. La figure de départ, 8 carreaux, la figure réduite, 4 carreaux. On divise chaque valeur par 2.

Et pour vérifier qu’une figure est bien un agrandissement ou une réduction, on compare les longueurs correspondantes entre les deux figures. Si le rapport entre chaque paire de longueurs correspondantes est toujours le même, alors c’est bien un agrandissement ou une réduction.

Par exemple, si j’ai un rectangle A qui a une longueur de 4 et une largeur de 2, et un rectangle B qui a une longueur de 12 et une largeur de 6, je fais 12/4, ça fait 3 comme coefficient, et 6/2, ça fait aussi 3. Le coefficient est 3 dans les deux cas. B est bien un agrandissement de A par 3. Si les rapports sont différents, la figure est déformée. Ce n’est pas un agrandissement ou une réduction.

Regarde, j’ai agrandi mon triangle en multipliant juste la hauteur par deux, mais pas la base. Il est quand même agrandi, non ? Je comprends, mais non. Si tu multiplies seulement la hauteur par deux sans toucher à la base, ton triangle va être complètement déformé. Il va paraître beaucoup plus pointu qu’avant. Ce ne sera plus le même triangle, juste une version étirée. Pour obtenir un vrai agrandissement, il faut absolument multiplier toutes les longueurs par le même coefficient : la base, la hauteur et tous les autres côtés. C’est la règle d’or qu’il ne faut pas oublier.

Exercices sur agrandir et réduire une figure

Maintenant, pour toi, derrière ton écran, j’ai fait trois tableaux. Il faut que tu complètes ces tableaux en calculant les dimensions de la figure agrandie ou réduite. Regarde, ici, c’est un agrandissement par 3, ici une réduction par 2 et ici un agrandissement par 1,5. Tu fais ça sur une ardoise ou une feuille. Mets pause.

Réponse

Pour la figure A, j’ai un agrandissement par 3. Donc, je fais × 3 à chaque fois. 2 × 3, ça fait 6. 3 × 3, ça fait 9. 5 × 3, ça fait 15.
Ensuite, c’est une réduction par 2, donc je divise par 2. 6 / 2, ça fait 3. 4 / 2, ça fait 2. Et 8/2, ça fait 4.
Et ensuite, c’est un agrandissement par 1,5. Donc, je fais × 1,5. 4 × 1,5, ça fait 6. 2 × 1,5, ça fait 3. 6 × 1,5, ça fait 9. Maintenant, tu peux comparer avec ce que toi tu avais écrit. Mets pause.

Maintenant, pour chaque paire de figures, tu dis si la figure B est un agrandissement ou une réduction de la figure A et tu trouves le coefficient. Mets pause.

Réponse

Regarde, pour la première paire, je fais 12/4, ça fait 3 et 6/2, ça fait 3. Donc, l’agrandissement est par 3. Ensuite, le rectangle A est plus grand que le rectangle B, donc c’est une réduction. Pour trouver le coefficient de réduction, je fais 6/3, ça fait 2 et 3/1,5, ça fait aussi 2. Donc, c’est une réduction par 2. Puis 5/2, ça fait 2,5. 10 / 4, ça fait 2,5 et 15/6, ça fait 2,5. C’est un agrandissement par 2,5.

Maintenant, je te propose de prendre une feuille quadrillée avec des carreaux et de réaliser les tracés suivants. Mets pause.

Réponse

Voici le rectangle A. Comme c’est un agrandissement par 3, je fais × 3. 4 × 3, ça fait 12. Et 2 × 3, ça fait 6. Voici le rectangle B.
Maintenant, j’ai un carré A de six carreaux de côté. Je trace un carré B qui est un agrandissement par 1,5. Donc, je fais 6 × 1,5, ça fait 9. J’ai un carré B avec 9 carreaux de côté. Puis, pour le C, c’est une réduction par 2. Donc, je fais 6/2, ça fait 3. J’ai un carré de trois carreaux de côté.

Résumé agrandir et réduire les figures

Je récapitule. Pour agrandir une figure, on multiplie toutes ses longueurs par le même nombre, le coefficient d’agrandissement. Pour réduire une figure, on divise toutes ses longueurs par le même nombre, le coefficient de réduction. Les angles ne changent pas, la forme reste identique. Seule la taille change. On peut utiliser un tableau de proportionnalité pour calculer les nouvelles longueurs sans se tromper.

Outro et fiche d’exercices

Agrandir ou réduire une figure, c’est un peu comme zoomer ou dézoomer sur une photo sur un téléphone. La forme reste exactement la même. Seule la taille change. Et maintenant que tu connais le secret du coefficient, tu peux créer des fresques géantes, des maquettes minuscules ou des affiches monumentales sans jamais déformer tes figures. N’hésite pas à t’entraîner dans quelques jours avec cette fiche d’exercices qui est sur le site maitrelucas.fr, sous cette vidéo. Ciao !

C’est quoi une pyramide ?

Débutons avec la pyramide. Une pyramide est un solide qui possède trois éléments caractéristiques. Une base qui est un polygone. La base peut-être un triangle, un carré, un rectangle, un pentagone. C’est la forme posée sur le sol et c’est elle qui donne son nom à la pyramide. Base triangulaire pyramide à base triangulaire. Base carrée pyramide à base carrée. Base pentagonale pyramide à base pentagonale.

Les faces latérales d’une pyramide sont des triangles. Ces faces partent de chaque côté de la base et remontent vers le haut. Elles ont un sommet commun. C’est le point tout en haut de la pyramide, là où toutes les faces latérales se rejoignent. On l’appelle le sommet de la pyramide. Donc, regarde la pyramide à base carrée a une base carrée, quatre faces latérales triangulaires, cinq faces en tout, 5 sommets et 8 arêtes.

Et la pyramide à base triangulaire a une base triangulaire, trois faces latérales triangulaires, quatre faces en tout, quatre sommets et six arêtes. Attention, une pyramide n’a donc pas forcément une base carrée.

C’est quoi un prisme ?

Le prisme droit est aussi un solide qui possède trois éléments caractéristiques. Il a deux bases qui sont des polygones identiques et superposables. Les deux bases ont exactement la même forme et la même taille. Elles sont parallèles, c’est-à-dire qu’elles se font face. Il a également des faces latérales qui sont toutes des rectangles.

Ces faces relient les deux bases entre elles. Il n’a aucun sommet commun. Contrairement à la pyramide, le prisme n’a pas de point de convergence en haut. Les deux bases restent bien distinctes et parallèles. On a le prisme à base triangulaire qui a deux bases triangulaires, identiques. Trois faces latérales rectangulaires, cinq faces en tout, 6 sommets, neuf arêtes. Ou encore le prisme à base rectangulaire qu’on appelle aussi pavé droit.

Il a deux bases rectangulaires identiques, quatre faces latérales rectangulaires, six faces en tout, 8 sommets, 12 arêtes. Donc, tu vois bien que, lorsque l’on change les bases, les prismes changent totalement, mais ça reste des prismes.

Le cube et le pavé droit sont-ils des prismes ?

Mais attends, le cube c’est un prisme droit alors, puisque ses bases sont des polygones identiques et superposables, il a des faces latérales qui sont toutes des rectangles. Voilà. Le cube, c’est un prisme droit.

En effet, le cube est un cas particulier de prisme droit. Il a deux bases carrées identiques et quatre faces latérales rectangulaires. Mais comme toutes ces faces sont carrées et identiques, on lui donne un nom spécial, le cube. C’est la même chose pour le pavé droit, qui est un prisme à base rectangulaire. Donc, retiens bien, tous les cubes et tous les pavés droits sont des prismes droits. Et tous les prismes droits ne sont pas des cubes.

Exercices sur les pyramides et les prismes

Toi, derrière ton écran, je te propose de t’entraîner avec un premier exercice de vrai faux. Tu lis chaque affirmation et tu dis si elle est vraie ou fausse. Si elle est fausse, tu la corriges. Mets pause.

Réponse

Pour la première affirmation, une pyramide a toujours une base carrée. C’est faux. Une pyramide peut avoir n’importe quel polygone comme base, triangle, carré, pentagone, et cetera.
Ensuite, les faces latérales d’une pyramide sont toujours des triangles. C’est vrai.
Un prisme droit a des faces latérales triangulaires, c’est faux. Les faces latérales d’un prisme droit sont toujours des rectangles, pas des triangles.
Ensuite, le cube et le pavé droit sont des prismes droits. C’est vrai.
Puis une pyramide n’a qu’un seul sommet, c’est faux.
Une pyramide a autant de sommets que sa base a deux côtés, plus le sommet du haut, une pyramide à base carrée à 5 sommets.

Maintenant, je te propose de décrire des solides et, pour chaque solide, tu indiques la forme de ses bases, le nombre et la forme de ses faces latérales, le nombre total de faces, de sommets et d’arêtes. Tu peux mettre pause et recopier le tableau.

Réponse

Je ne vais pas te décrire tout le tableau, mais le voici complété. Tu prends ton temps pour bien comparer avec ce que tu avais écrit et si tu as des erreurs, tu cherches d’où viennent tes erreurs. Comme ça, elles te permettent d’apprendre. Mets pause.

Maintenant, dans cet exercice, tu as des descriptions et, pour chaque description, tu trouves le nom du solide. Mets pause.

Réponse

J’ai quatre faces qui sont toutes des triangles. Je n’ai qu’un seul sommet en haut, une pyramide à base triangulaire. J’ai deux bases hexagonales et six faces rectangulaires. Un prisme à base hexagonale. J’ai six faces carrées, identiques. Je suis un cas particulier de prisme droit. Le cube.
J’ai une base carrée quatre faces triangulaires et 5 sommets en tout. La pyramide à base carrée.
J’ai deux bases triangulaires et trois faces rectangulaires. J’ai six sommets. Le prisme à base triangulaire. Mets pause et compare avec ce que tu avais trouvé.

Résumé les prismes et pyramides

Je récapitule. Une pyramide a une base polygonale, des faces latérales triangulaires et un sommet commun en haut où toutes ces faces se rejoignent. Son nom dépend de la forme de sa base. Pyramide à base carrée, triangulaire, pentagonale, et cetera. Un prisme droit a deux bases polygonales identiques et parallèles reliées par des faces latérales rectangulaires.

Le cube et le pavé droit sont des cas particuliers de prisme droit. Pour distinguer les deux, la pyramide a un seul sommet en haut. Le prisme a deux bases identiques en haut et en bas. Pour décrire un solide, on indique toujours le nombre et la forme des bases, le nombre et la forme des faces latérales et le nombre total de faces, de sommets et d’arêtes.

Outro, carte mentale et fiche d’exercices

Dans cette vidéo, tu as appris à décrire et à mieux reconnaître les pyramides et les prismes. Je te propose de revoir la leçon dans quelques jours avec sep cartes mentales et de t’entraîner avec sep fiches d’exercices. Les deux sont sur le site maitrelucas.fr sous cette vidéo. À plus !

C’est quoi un solide ?

Un solide, c’est une forme géométrique en trois dimensions. Contrairement aux figures, plane, comme le carré ou le triangle, un solide a une longueur, une largeur et une hauteur. On peut le tenir dans la main et le regarder sous tous les angles.

C’est quoi un polyèdre ?

Parmi les solides, il existe une grande famille très importante, les polyèdres. Un polyèdre, c’est un solide dont toutes les faces sont des polygones, c’est-à-dire des figures planes avec des côtés droits. Ses faces sont plates, ses arêtes sont droites et ses sommets sont des points.

Pour décrire un polyèdre, on observe trois choses. Ses faces, les surfaces plates qui l’entourent, ses arêtes, les segments qui bordent chaque face, là où deux faces se rejoignent. Ses sommets, les points où plusieurs arêtes se rencontrent.

Ce que n’est pas un polyèdre

Mais attention, tous les solides ne sont pas des polyèdres. Certains solides ont des faces courbes, on les connaît bien. La boule, elle n’a qu’une seule face qui est entièrement courbe. Pas de sommet, pas d’arête. Le cylindre, il a deux faces circulaires et une surface latérale courbe. Le cône, il a une face circulaire, une surface latérale courbe et un seul sommet. Ces trois solides ne sont pas des polyèdres parce que leurs faces ne sont pas toutes des polygones.

Les différents polyèdres

Maintenant, faisons connaissance avec les polyèdres les plus importants. Le cube. Le cube est un polyèdre composé de 6 faces carrées, 8 sommets et 12 arêtes. Toutes ces faces sont identiques. Pense au dé.

Le pavé droit ressemble au cube, mais ses faces ne sont pas toutes carrées. Il a six faces rectangulaires, parfois 2 carrés et 4 rectangulaires, 8 sommets et 12 arêtes. Pense à une boîte de chaussures.

Puis la pyramide, qui est un polyèdre composé d’une base qui est un polygone de face latérale triangulaire qui se rejoigne toute en un seul point, appelé le sommet de la pyramide. Il existe plusieurs types de pyramides selon la forme de leur base. Une pyramide à base carrée à 5 faces, 5 sommets et 8 arêtes. Une pyramide à base triangulaire à quatre faces, quatre sommets et six arêtes et ainsi de suite selon le nombre de côtés de la base.

Le prisme droit a deux bases identiques qui sont des polygones. relié par des faces rectangulaires. On le reconnaît facilement, car ses deux bases se font face et sont parallèles.

Exercices sur les polyèdres

Maintenant, je te propose un petit vrai ou faux pour toi derrière ton écran. Voici plusieurs affirmations. Tu dis si elle est vraie ou fausse à chaque fois. Si elle est fausse, tu la corriges. Mets pause.

Réponse

Un cube et un pavé droit ont le même nombre de sommets. C’est vrai, un cube et un pavé droit ont tous les deux 8 sommets.
La boule est un polyèdre. C’est faux, la boule n’est pas un polyèdre. Sa face est courbe.
Une pyramide a toujours des faces latérales triangulaires. C’est vrai, toutes les faces latérales d’une pyramide sont des triangles.
Le cube a six faces rectangulaires. C’est faux. Le cube a six faces carrées, pas rectangulaires.
Le cône a une phase circulaire et une surface courbe. C’est vrai, le cône a bien une base circulaire et une surface latérale courbe.
Un pavé droit a toujours 12 arêtes. C’est vrai, le pavé droit a toujours 12 arêtes.
Une pyramide à base carrée a six faces. Une pyramide à base carrée a cinq faces. C’est donc faux. Une base carrée et quatre faces triangulaires.
Le cylindre est un polyèdre, car il a des faces. C’est faux, le cylindre n’est pas un polyèdre, car sa surface latérale est courbe. Ce n’est pas un polygone. Mets pause et compare avec ce que tu avais écrit.

Maintenant, voici plusieurs solides et voici des descriptions de solides. Je te propose pour chaque description de trouver le nom du solide qui correspond. Mets pause.

Réponse

J’ai 6 faces carrées, 8 sommets et 12 arêtes. C’était le cube. J’ai cinq faces dans une basse carrée et quatre faces triangulaires, cinq sommets et 8 arêtes. Je suis une pyramide à base carrée.
J’ai deux faces circulaires et une surface latérale courbe. Je ne suis pas un polyèdre, le cylindre.
J’ai quatre phases triangulaires, quatre sommets et six arêtes. Ma base est un triangle. Je suis une pyramide à base triangulaire.
J’ai une seule face courbe. Pas d’arête, pas de sommet, je suis une boule.
J’ai six faces rectangulaires, 8 sommets et 12 arêtes. Mais mes faces ne sont pas toutes identiques. Je suis un pavé droit.
J’ai une base circulaire, une surface courbe et un seul sommet. Je suis un cône.
J’ai deux bases polygonales identiques et parallèles reliées par des faces rectangulaires. Je suis un prisme droit.

Maintenant, je te propose de recopier ce tableau et, pour chaque solide, tu complètes la fiche de description en indiquant le nombre de sommets, d’arêtes, de face, la forme des faces et, si c’est un polyèdre ou non, mets pause.

Réponse

Voici le tableau complété. Attention, prends bien ton temps pour comparer avec ce que tu avais écrit. Et si tu as des erreurs, tu essayes de trouver un solide chez-toi qui a la même forme et de recompter. Mets pause.

Résumé les polyèdres

Dans cette vidéo, tu as appris qu’un solide est une forme géométrique en trois dimensions. Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones, des faces plates au côté droit. On le décrit grâce à ses faces, ses arêtes et ses sommets. La boule, le cylindre et le cône ne sont pas des polyèdres, car ils ont des surfaces courbes. Le cube a 6 faces carrées, 8 sommets et 12 arêtes. Le pavé droit a six faces rectangulaires, 8 sommets et 12 arêtes également. La pyramide a une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent un sommet. Son nom dépend de la forme de sa base. Pour reconnaître une pyramide, il faut toujours regarder la forme de sa base.

Outro, carte mentale et fiche d’exercices

Donc, la prochaine fois que tu ouvriras une boîte de céréales, que tu lanceras un dé ou que tu regarderas une photo des pyramides d’Égypte, tu ne verras plus jamais ces objets de la même façon. Tu verras un pavé droit, un cube, une pyramide à basse carrée et ça, c’est le regard d’un géomètre. Pour bien mémoriser les noms de ces solides, je te propose de revoir cette carte mentale dans quelques jours et de faire cette fiche d’exercices. Les deux sont sur le site maitrelucas.fr sous cette vidéo. À plus.