Matière : Maths

C’est quoi un solide ?

Un solide, c’est une forme géométrique en trois dimensions. Contrairement aux figures, plane, comme le carré ou le triangle, un solide a une longueur, une largeur et une hauteur. On peut le tenir dans la main et le regarder sous tous les angles.

C’est quoi un polyèdre ?

Parmi les solides, il existe une grande famille très importante, les polyèdres. Un polyèdre, c’est un solide dont toutes les faces sont des polygones, c’est-à-dire des figures planes avec des côtés droits. Ses faces sont plates, ses arêtes sont droites et ses sommets sont des points.

Pour décrire un polyèdre, on observe trois choses. Ses faces, les surfaces plates qui l’entourent, ses arêtes, les segments qui bordent chaque face, là où deux faces se rejoignent. Ses sommets, les points où plusieurs arêtes se rencontrent.

Ce que n’est pas un polyèdre

Mais attention, tous les solides ne sont pas des polyèdres. Certains solides ont des faces courbes, on les connaît bien. La boule, elle n’a qu’une seule face qui est entièrement courbe. Pas de sommet, pas d’arête. Le cylindre, il a deux faces circulaires et une surface latérale courbe. Le cône, il a une face circulaire, une surface latérale courbe et un seul sommet. Ces trois solides ne sont pas des polyèdres parce que leurs faces ne sont pas toutes des polygones.

Les différents polyèdres

Maintenant, faisons connaissance avec les polyèdres les plus importants. Le cube. Le cube est un polyèdre composé de 6 faces carrées, 8 sommets et 12 arêtes. Toutes ces faces sont identiques. Pense au dé.

Le pavé droit ressemble au cube, mais ses faces ne sont pas toutes carrées. Il a six faces rectangulaires, parfois 2 carrés et 4 rectangulaires, 8 sommets et 12 arêtes. Pense à une boîte de chaussures.

Puis la pyramide, qui est un polyèdre composé d’une base qui est un polygone de face latérale triangulaire qui se rejoigne toute en un seul point, appelé le sommet de la pyramide. Il existe plusieurs types de pyramides selon la forme de leur base. Une pyramide à base carrée à 5 faces, 5 sommets et 8 arêtes. Une pyramide à base triangulaire à quatre faces, quatre sommets et six arêtes et ainsi de suite selon le nombre de côtés de la base.

Le prisme droit a deux bases identiques qui sont des polygones. relié par des faces rectangulaires. On le reconnaît facilement, car ses deux bases se font face et sont parallèles.

Exercices sur les polyèdres

Maintenant, je te propose un petit vrai ou faux pour toi derrière ton écran. Voici plusieurs affirmations. Tu dis si elle est vraie ou fausse à chaque fois. Si elle est fausse, tu la corriges. Mets pause.

Réponse

Un cube et un pavé droit ont le même nombre de sommets. C’est vrai, un cube et un pavé droit ont tous les deux 8 sommets.
La boule est un polyèdre. C’est faux, la boule n’est pas un polyèdre. Sa face est courbe.
Une pyramide a toujours des faces latérales triangulaires. C’est vrai, toutes les faces latérales d’une pyramide sont des triangles.
Le cube a six faces rectangulaires. C’est faux. Le cube a six faces carrées, pas rectangulaires.
Le cône a une phase circulaire et une surface courbe. C’est vrai, le cône a bien une base circulaire et une surface latérale courbe.
Un pavé droit a toujours 12 arêtes. C’est vrai, le pavé droit a toujours 12 arêtes.
Une pyramide à base carrée a six faces. Une pyramide à base carrée a cinq faces. C’est donc faux. Une base carrée et quatre faces triangulaires.
Le cylindre est un polyèdre, car il a des faces. C’est faux, le cylindre n’est pas un polyèdre, car sa surface latérale est courbe. Ce n’est pas un polygone. Mets pause et compare avec ce que tu avais écrit.

Maintenant, voici plusieurs solides et voici des descriptions de solides. Je te propose pour chaque description de trouver le nom du solide qui correspond. Mets pause.

Réponse

J’ai 6 faces carrées, 8 sommets et 12 arêtes. C’était le cube. J’ai cinq faces dans une basse carrée et quatre faces triangulaires, cinq sommets et 8 arêtes. Je suis une pyramide à base carrée.
J’ai deux faces circulaires et une surface latérale courbe. Je ne suis pas un polyèdre, le cylindre.
J’ai quatre phases triangulaires, quatre sommets et six arêtes. Ma base est un triangle. Je suis une pyramide à base triangulaire.
J’ai une seule face courbe. Pas d’arête, pas de sommet, je suis une boule.
J’ai six faces rectangulaires, 8 sommets et 12 arêtes. Mais mes faces ne sont pas toutes identiques. Je suis un pavé droit.
J’ai une base circulaire, une surface courbe et un seul sommet. Je suis un cône.
J’ai deux bases polygonales identiques et parallèles reliées par des faces rectangulaires. Je suis un prisme droit.

Maintenant, je te propose de recopier ce tableau et, pour chaque solide, tu complètes la fiche de description en indiquant le nombre de sommets, d’arêtes, de face, la forme des faces et, si c’est un polyèdre ou non, mets pause.

Réponse

Voici le tableau complété. Attention, prends bien ton temps pour comparer avec ce que tu avais écrit. Et si tu as des erreurs, tu essayes de trouver un solide chez-toi qui a la même forme et de recompter. Mets pause.

Résumé les polyèdres

Dans cette vidéo, tu as appris qu’un solide est une forme géométrique en trois dimensions. Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones, des faces plates au côté droit. On le décrit grâce à ses faces, ses arêtes et ses sommets. La boule, le cylindre et le cône ne sont pas des polyèdres, car ils ont des surfaces courbes. Le cube a 6 faces carrées, 8 sommets et 12 arêtes. Le pavé droit a six faces rectangulaires, 8 sommets et 12 arêtes également. La pyramide a une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent un sommet. Son nom dépend de la forme de sa base. Pour reconnaître une pyramide, il faut toujours regarder la forme de sa base.

Outro, carte mentale et fiche d’exercices

Donc, la prochaine fois que tu ouvriras une boîte de céréales, que tu lanceras un dé ou que tu regarderas une photo des pyramides d’Égypte, tu ne verras plus jamais ces objets de la même façon. Tu verras un pavé droit, un cube, une pyramide à basse carrée et ça, c’est le regard d’un géomètre. Pour bien mémoriser les noms de ces solides, je te propose de revoir cette carte mentale dans quelques jours et de faire cette fiche d’exercices. Les deux sont sur le site maitrelucas.fr sous cette vidéo. À plus.

C’est quoi un axe de symétrie ?

Un axe de symétrie est une droite imaginaire qui partage une figure en deux parties superposables. Ça veut dire quoi superposable ? Si l’on plie la figure le long de cette droite, les deux côtés se recouvrent exactement.

Pour que ce soit un axe de symétrie, les deux parties doivent être identiques. Elles doivent être à égale distance de la droite. Elles doivent être en miroir.
Donc, si c’est presque pareil, ça marche. Non, en symétrie presque ne suffit pas. Si ça ne se superpose pas parfaitement, ce n’est pas un axe de symétrie.

Les axes de symétrie selon les figures

Une figure peut avoir plusieurs axes de symétrie. Un rectangle a deux axes, un carré en a quatre, un cercle en a une infinité et certaines figures n’en ont aucun.

Je te montre plusieurs exemples. Regarde ce smiley, il a un axe de symétrie ici. Si je plie ma feuille sur l’axe de symétrie, les deux parties se superposent parfaitement. Ici, j’ai exactement le même chien des deux côtés de l’axe de symétrie, mais ils ne sont pas symétriques. Car imagine si tu pliais la feuille sur l’axe de symétrie, les deux chiens n’arriveraient pas exactement au même endroit. Il y en a un qui n’est pas orienté correctement. Par contre, ici, c’est bon. Les deux images sont symétriques. Attention, ici, par exemple, l’axe de symétrie n’est pas vertical, il est oblique, car, sinon les deux figures ne se superposent pas exactement.

Exercices sur reconnaître les axes de symétrie

Passons à un exercice. Pour chaque figure, je te propose de me dire si la droite est un axe de symétrie ou non. Mets pause.

Réponse

Pour le cœur, oui, les deux parties se superposent exactement. Pour le rectangle, ce n’était pas un axe de symétrie. Imagine si tu plies, le coin n’arrive pas exactement sur l’autre coin. Pour le triangle, c’était un axe de symétrie. Pour le carré aussi, c’était un axe de symétrie. Pour l’étoile, non, les deux parties ne se superposent pas exactement.

Maintenant, dis-moi combien d’axes de symétrie à chaque figure. Mets pause.

Réponse

Un rectangle non carré a deux axes de symétrie. Un axe vertical passant par le centre et un axe horizontal passant par le centre. Les diagonales ne sont pas des axes de symétrie, sauf si le rectangle est un carré.
Un carré a quatre axes de symétrie, un axe vertical, un axe horizontal et diagonal.
Un triangle équilatéral dont les côtés ont la même longueur à trois axes de symétrie. Chaque axe passe par un sommet et le milieu du côté opposé.
Un cercle a une infinité d’axes de symétrie. Toute droite passant par le centre est un axe de symétrie. Un losange non carré a deux axes de symétrie. Ce sont ces deux diagonales.

Et maintenant à nouveau, dis-moi si les figures possèdent au moins un axe de symétrie. Réfléchis bien si tu plies la figure. Est-ce que ça se superpose ? Mets pause.

Réponse

Une lettre A majuscule bien dessinée a un axe de symétrie qui est vertical. Si on la plie en deux verticalement, les deux côtés se superposent.
Une lettre F majuscule, non, elle ne possède aucun axe de symétrie.
Un papillon bien symétrique, oui, il possède un axe de symétrie vertical. Le corps forme l’axe et les deux ailes se superposent.
Un trapèze quelconque ? Non, il ne possède aucun axe de symétrie. Un trapèze n’a un axe que s’il est isocèle. Ici, quelconque signifie sans propriété particulière.
Un hexagone régulier, oui, il possède six axes de symétrie. Trois axes passent par deux sommets opposés et trois axes passent par les milieux de côté opposé.

Résumé reconnaître les axes de symétrie

Donc, je récapitule. Un axe de symétrie est une droite qui partage une figure en deux parties superposables. Les deux côtés doivent être identiques et en miroir. Certaines figures ont plusieurs axes de symétrie et certaines n’en ont aucun.

Outro et fiche d’exercices pour reconnaître les axes de symétrie

Dans cette vidéo, tu as appris à reconnaître les axes de symétrie. Tu pourras t’entraîner dans quelques jours avec cette fiche d’exercices qui est sur le site maitrelucas.fr sous cette vidéo. Comme ça, tu n’oublieras pas ce chapitre. À plus.

Nommer les éléments des figures géométriques

Pour décrire une figure géométrique, on doit observer et nommer les éléments qui la composent et préciser leur position les uns par rapport aux autres. Voici les mots indispensables à connaître. Le côté, c’est un segment qui forme le bord de la figure. On peut compter les côtés, mesurer leur longueur et repérer si certains ont la même longueur ou sont parallèles. Le sommet, c’est le point où deux côtés se rejoignent. On peut compter les sommets d’une figure. L’angle, c’est l’écartement entre deux côtés qui se rejoignent en un sommet.

Un angle peut-être droit comme le coin d’une feuille, aigu plus fermé qu’un angle droit ou obtus plus ouvert qu’un angle droit.

Exemples de figures

Ces trois éléments permettent de décrire n’importe quelle figure plane. Maintenant, une figure peut aussi être composée de plusieurs figures simples assemblées. Par exemple, on peut avoir un carré avec un cercle dont le centre est au milieu d’un côté du carré. Dans ce cas, on décrit chaque partie et l’on précise comment elles sont positionnées l’une par rapport à l’autre.

Voici un exemple de description. Je suis un triangle, mes trois côtés ont la même longueur. J’ai trois sommets et trois angles aigus. Et voici ce que l’apport en déduire. C’est un triangle équilatéral.

Utiliser un vocabulaire précis

La règle d’or pour décrire une figure, c’est d’utiliser un vocabulaire précis où l’on donne toutes les informations utiles.

• Le nombre de côtés,
• leur longueur,
• leur parallélisme
• la nature des angles.

Je vois ce que tu veux dire, mais grande et coin, ce sont des mots trop vagues. Grande par rapport à quoi ? Et coin, ce mot ne fait pas partie du vocabulaire de géométrie. Si tu dis grand, quelqu’un d’autre pourrait dessiner une figure de taille complètement différente. En géométrie, une bonne description doit permettre à n’importe qui de reproduire exactement la même figure. Pour ça, il faut utiliser des mots précis. Côté, sommet, angle droit, côté de même longueur, côté parallèle. Ces mots-là, tout le monde les comprend de la même façon.

Exercices sur décrire une figure

Pour que ce soit plus concret, passons aux exercices. Voici des descriptions de figures. Toi derrière ton écran, lis les descriptions et, à chaque fois, trouve de quelle figure il s’agit. Voici la liste des figures à utiliser. Mets pause.

Réponse

J’ai trois côtés et mes trois côtés ont la même longueur. C’était le triangle équilatéral, on l’a vu juste avant.
Ensuite, j’ai quatre côtés de même longueur et quatre angles droits. Le carré.
J’ai quatre côtés. Mes côtés opposés sont parallèles. Je n’ai aucun angle droit, un losange.
J’ai trois côtés, l’un de mes angles est droit, un triangle rectangle.
J’ai quatre côtés. Mes côtés opposés ont la même longueur et sont parallèles.
J’ai quatre angles droits, un rectangle.
J’ai six côtés, un hexagone.
J’ai trois côtés, je n’ai aucun angle droit et mes côtés n’ont pas la même longueur. Un triangle quelconque.
J’ai cinq côtés, un pentagone. Mais pause et compare avec ce que tu avais trouvé.

Cette fois, voici plusieurs descriptions qui te sont proposées pour une même figure. Une seule est correcte et complète. Trouve laquelle et explique pourquoi les autres ne conviennent pas. Mets la vidéo sur pause.

Réponse

Pour la figure une, la bonne description est la C. La A est incomplète. Elle ne précise pas que les côtés opposés ont la même longueur, ce qui pourrait correspondre à un carré aussi.
La B est fausse. Un rectangle n’a pas forcément quatre côtés de même longueur, contrairement au carré.
Pour la figure 2, la bonne description est la B. La A est fausse. Un triangle rectangle n’a pas forcément deux côtés de même longueur. La C est trop vague. Tous les triangles ont trois sommets.
Pour la figure 3, la bonne description est la B. La A est trop vague, beaucoup de figures ont quatre côtés. Et la C est trop vague également. Toutes les figures ont des angles.

Et pour le dernier exercice, voici des figures composées de plusieurs figures simples. Pour chaque figure, tu rédiges une description précise en utilisant le vocabulaire de la leçon. Je n’ai pas noté les longueurs, donc les tailles des figures peuvent varier, mais pas la position de chaque figure. Mets la vidéo sur pause et écris ta description sur une ardoise ou une feuille.

Réponse

Voici des exemples de description qui peuvent être un peu différents de ce que toi tu as écrit. Pour la figure A, je suis composé d’un carré et d’un cercle. Le centre du cercle est le point d’intersection des diagonales du carré. Le cercle est à l’intérieur du carré.
Pour la figure B, je suis composé d’un rectangle et d’un triangle rectangle. Le triangle est à l’extérieur du rectangle. L’un des côtés du triangle est confondu avec le côté le plus long du rectangle.
Pour la figure C, je suis composé de deux cercles. Le petit cercle est à l’intérieur du grand. Ils ont le même centre.
Et pour la figure D, je suis composé d’un triangle équilatéral et d’un point situé à égale distance de ces trois sommets.

Résumé décrire une figure

Tu sais maintenant décrire et identifier des figures géométriques. Voici ce qu’il faut retenir. Pour décrire une figure, on utilise trois éléments clés : les côtés, les sommets et les angles. Une bonne description doit être précise. On indique le nombre de côtés, leur longueur si certains ont la même longueur ou sont parallèles et la nature des angles droits, aigus, obtus. Une description doit permettre à n’importe qui de reproduire exactement la figure sans la voir. Une figure peut être composée de plusieurs figures simples. Dans ce cas, on décrit chaque partie et l’on précise leur position l’une par rapport à l’autre. Le vocabulaire précis à utiliser ? Côté, sommet, angle droit, côté de même longueur, côté parallèle, centre milieu, segment.

Outro et fiche d’exercices pour décrire une figure

Tu sais maintenant identifier et décrire quelques figures géométriques. Je te propose de continuer à t’entraîner dans quelques jours avec cette fiche qui est sur le site maitrelucas.fr sous cette vidéo. À plus.

C’est quoi une droite parallèle ?

Deux droites sont parallèles quand elles ne se rencontrent jamais, même si on les prolonge très très loin à l’infini. Et surtout, la distance entre elles reste toujours la même.

Par exemple, si entre deux droites il y a toujours 18 mm et qu’elles ne se croisent jamais, alors elles sont parallèles. En maths, on peut écrire la droite E est parallèle à la droite F et l’on note E entre parenthèses pour dire que c’est une droite, parallèle avec deux traits obliques, à f entre parenthèses parce que c’est une droite.

Comment vérifier si deux droites sont parallèles ?

Si deux droites sont perpendiculaires à la même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Par exemple, E est perpendiculaire à D. F est aussi perpendiculaire à D. Donc, E et F sont parallèles.

Pour tracer deux droites parallèles, on peut utiliser une règle. Mais attention, seule, elle ne suffit pas. Il faut un autre outil, l’équerre.

D’abord, tu commences par tracer une droite. Puis tu colles l’équerre à la droite avec le coin où il y a l’angle droit collé à la droite. Tu amènes la règle que tu colles à l’équerre. Puis tu fais glisser l’équerre à la distance que tu souhaites par rapport à la droite D. Ensuite, tu traces une nouvelle droite grâce à ton équerre. Et voilà, tu as deux droites parallèles.

Je te remontre. Voici la droite E, et voici un point A. Et tu souhaites tracer une parallèle à la droite E qui passe par A. Alors, tu prends ton équerre que tu colles à la droite E. Tu prends ta règle que tu colles à l’équerre. Tu fais glisser ton équerre le long de la règle jusqu’à toucher le point A. Tu traces ta droite et voilà, tu as deux droites parallèles.

Toujours vérifier avec des outils de géométrie

Regarde, j’ai tracé deux traits bien droits sans équerre. Ça marche aussi ?
Pas vraiment. Si à l’œil, ça semble bon, si tu ne mesures pas ou que tu ne vérifies pas, elle risque de se croiser un jour. Le plus sûr, c’est d’utiliser un outil de géométrie.

Exercices sur les droites parallèles

C’est parti pour l’entraînement. Voici plusieurs phrases. À chaque phrase, tu me dis si elle est vraie ou fausse, mets pause.

Réponse

Je corrige. Deux droites avec le même écart sont parallèles. C’est vrai. Deux droites qui se croisent sont parallèles. C’est faux.
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. C’est vrai.
Deux droites très proches, mais qui se croisent sont parallèles. C’est faux. Et deux droites espacées de manière irrégulière sont parallèles, c’est faux également.

Maintenant, je te propose de compléter ces phrases, mets pause.

Réponse

Je te donne les réponses. Deux droites parallèles ne se croisent jamais. Leur distance reste toujours la même. Pour les tracer, on peut utiliser une règle et une équerre. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles. On note les droites parallèles comme ça.

Maintenant à toi derrière ton écran. Je te propose de dessiner une droite sur une feuille blanche et ensuite de dessiner un point où tu veux. Et tu dois tracer une autre droite qui passe par ce point et qui est parallèle à la première droite. Mets pause.

Réponse

Comme avant, je pose mon équerre contre la droite. Ensuite, j’amène ma règle contre l’équerre. Je fais glisser mon équerre jusqu’au point. Je trace la droite. Et voilà, j’ai une droite parallèle qui passe par le point.

Résumé sur les droites parallèles

Je récapitule, deux droites sont parallèles si elles ne se croisent jamais. Leur écartement reste toujours le même. On peut les tracer avec une règle et une équerre. Et si deux droites sont perpendiculaires à la même droite, elles sont parallèles entre elles.

Outro et fiche d’exercices

Maintenant, tu sais reconnaître des droites parallèles et en tracer. Tu pourras continuer à t’entraîner avec cette fiche d’exercices qui est sur le site maitreluca.fr sous cette vidéo. À plus.

C’est quoi une droite perpendiculaire ?

Alors, deux droites sont dites perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Est-ce que tu te souviens de ce qu’est un angle droit ? C’est un coin bien droit comme celui d’une feuille ou d’une table. On note un angle droit avec un petit carré pour savoir où il est.

Comment vérifier la perpendicularité ?

Et pour vérifier si deux droites sont perpendiculaires, on utilise une équerre. On place le coin de l’équerre où il y a l’angle droit, c’est le coin en face du côté le plus long, là où les deux droites se croisent. Si les deux bords de l’équerre se placent pile sur les droites, alors elles sont perpendiculaires.

C’est comme si tu formais un petit L bien droit. Si l’équerre glisse bien le long des deux droites sans dépasser ou être de travers, c’est bon. On peut aussi tracer des droites perpendiculaires. D’abord, on trace une première droite. Ensuite, on pose l’équerre dessus et l’on trace une autre droite en suivant l’un des bords perpendiculaires.

Et l’on peut placer l’équerre de différentes façons sur une droite pour tracer d’autres droites perpendiculaires.

Exemple du quotidien sur les droites perpendiculaires

Regarde les carrefours dans une ville. Souvent, les rues se croisent en angle droit. Hop. des droites perpendiculaires. Le coin d’un cahier, pareil, une fenêtre, une armoire, une table, tu en vois partout autour de toi.

Exercices sur les droites perpendiculaires

Maintenant à toi derrière ton écran. On va s’entraîner ensemble. Voici plusieurs droites. À chaque fois, tu me dis celles qui sont perpendiculaires. Bien sûr, il faut t’aider d’une équerre ou d’un coin d’une feuille, mets pause.

Réponse

Les droites perpendiculaires sont celles qui forment un angle droit lorsqu’elles se croisent. Ici, il y a un angle droit, donc les droites sont perpendiculaires. Ici aussi et ici aussi.

Maintenant, je te propose de tracer des droites perpendiculaires. Tout d’abord, tu peux prendre une feuille blanche, tu traces une première droite et ensuite, tu traces deux droites perpendiculaires à celle-ci. Mets pause.

Réponse

Tu as donc tracé ta première droite. Ensuite, tu colles le côté de l’équerre où il y a l’angle droit. Tu traces la droite perpendiculaire. Tu peux la prolonger avec une règle. Puis tu fais la même chose de l’autre côté. Et voilà, tu as deux droites qui sont perpendiculaires à une troisième.

Et pour finir, voici un plan de ville. Peux-tu me dire où il y a des croisements où les rues se croisent perpendiculairement ? Mets pause.

Réponse

Ces deux rues étaient perpendiculaires et celles-ci également. D’autres étaient presque perpendiculaires, mais pas tout à fait.

Résumé sur les droites perpendiculaires

Je récapitule. Deux droites sont perpendiculaires quand elles se croisent en formant un angle droit. On peut vérifier avec une équerre et l’on peut en tracer en posant l’équerre sur une droite et en suivant l’un de ses bords. Tu peux aussi en repérer dans ta maison, dans la rue ou même dans ton cahier.

Outro et fiche d’exercices

Et voilà, tu sais maintenant ce que sont des droites perpendiculaires. Continue à observer autour de toi. Le monde est rempli d’angle droit. Tu pourras continuer à t’entraîner dans quelques jours avec cette fiche d’exercices qui est sur le site maitrelucas.fr sous cette vidéo. À plus !