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Ressources complémentaires
Fiche d’exercices
Découvre la fiche d’exercices pour t’entraîner à résoudre des problèmes algébriques.
DESCRIPTION
Comment résoudre des problèmes algébriques ?
Il y a des vidéos qui ouvrent une porte vers le collège, et celle-ci en fait partie puisque je propose aux élèves de CM1 et de CM2 (cycle 3) leurs tout premiers pas en algèbre. Derrière ce grand mot se cache une idée toute simple, celle de représenter un nombre que l’on ne connaît pas encore par un symbole comme un carré, un triangle ou une lettre, afin de pouvoir travailler avec lui. Je pars d’une petite histoire de boîtes posées sur une balance pour montrer aux enfants qu’au lieu de rester bloqués devant une valeur inconnue, ils peuvent lui donner un nom provisoire et laisser les mathématiques faire le reste.
J’apprends ensuite aux élèves une méthode claire en cinq étapes qui les guide du début à la fin. On identifie d’abord ce que l’on cherche, on choisit un symbole pour représenter l’inconnu, on écrit la situation sous forme d’égalité, on résout, puis on vérifie. J’appuie beaucoup sur l’image de la balance à l’équilibre, car elle rend l’égalité vraiment concrète. Les deux plateaux pèsent autant l’un que l’autre, exactement comme les deux côtés du signe égal. Cette représentation aide énormément les enfants à traduire un problème en langage mathématique sans se sentir perdus.
La vidéo propose ensuite de nombreux moments où votre enfant met la vidéo sur pause pour chercher seul, avec des situations de plus en plus riches, jusqu’aux problèmes qui font intervenir deux symboles. Je montre alors une stratégie précieuse, celle de commencer par l’égalité, qui ne contient qu’une seule inconnue avant de passer à la suivante. Une étape revient sans cesse, celle de la vérification, où l’on remplace le symbole par la valeur trouvée pour contrôler que la balance reste à l’équilibre. Je répète aux enfants qu’un bon mathématicien vérifie toujours, car c’est un réflexe qui les servira longtemps.
LE CONSEIL DE MAITRE LUCAS
Raisonner et vérifier étape par étape
L’algèbre impressionne souvent les parents autant que les enfants, mais, rassurez-vous, il ne s’agit ici que de donner un nom à ce que l’on cherche. Vous pouvez aider votre enfant à apprivoiser cette idée avec des devinettes toutes simples du quotidien. Demandez-lui par exemple, à quel nombre vous pensez si, en lui ajoutant cinq, on obtient douze. Sans le savoir, il résout déjà une équation, et il découvre avec plaisir que ce raisonnement n’a rien d’effrayant. Ces petits jeux oraux installent une vraie familiarité avec la notion d’inconnue.
Si votre enfant se sent perdu devant un problème, le plus utile est de l’aider à ralentir et à suivre les étapes une à une. Encouragez-le d’abord à repérer ce qu’il cherche, puis à écrire ce qu’il sait déjà, avant même de calculer quoi que ce soit. Beaucoup d’enfants se bloquent parce qu’ils veulent trouver la réponse tout de suite, alors que la force de l’algèbre est justement de poser les choses calmement. En le guidant par petites questions plutôt qu’en donnant la solution, vous lui apprenez à structurer sa pensée.
Insistez enfin sur la vérification, car c’est un réflexe qui dépasse largement les mathématiques. Une fois la valeur trouvée, votre enfant la replace dans le calcul de départ et contrôle que tout s’équilibre.
Compétences acquises
- Comprendre que l’algèbre permet de représenter un nombre inconnu par un symbole ou une lettre pour établir des relations et le retrouver.
- Appliquer une méthode en cinq étapes pour résoudre un problème, de l’identification de l’inconnu jusqu’à la vérification.
- Résoudre un problème comportant deux symboles en commençant par l’égalité, qui ne contient qu’une seule inconnue.
À qui s’adresse cette vidéo ?
Niveau
CM1 (Cours moyen 1re année)
CM2 (Cours moyen 2e année)
6e (Sixième)
Matière
Maths, Mathématiques
Cours
Algèbre, résolution de problèmes, numération, nombres, calculs, grandeurs et mesures
Résoudre des problèmes algébriques
Hé, salut toi derrière ton écran ! Regarde cette balance : elle est à l’équilibre, les deux plateaux sont au même niveau. D’un côté, il y a trois boîtes identiques et, de l’autre, des poids de 20 kg et de 1 kg. Combien pèse une seule boîte ? Mets pause et cherche.
Les trois boîtes pèsent ensemble 21 kg. En divisant 21 par 3, je trouve que chaque boîte pèse 7 kg. Mais comment écrire ce raisonnement avec les mathématiques ? « Trois fois quelque chose égale 21. » Ce quelque chose est un nombre encore inconnu. Aujourd’hui, nous allons apprendre à le représenter par un symbole pour établir des relations mathématiques : c’est l’algèbre !
Qu’est-ce que l’algèbre ?
L’algèbre permet de représenter des nombres inconnus par des symboles, comme un triangle, un carré ou un rond, ou par des lettres, comme N, X ou A. On peut ainsi établir des relations entre les nombres pour retrouver une valeur manquante. Quand on ne connaît pas une valeur, au lieu de rester bloqué, on lui donne un nom provisoire et l’on travaille avec.
La méthode en cinq étapes
Reprenons notre balance : trois boîtes identiques pèsent ensemble 21 kg. Pour retrouver la masse d’une boîte, je vais utiliser une méthode en cinq étapes.
Étape 1 : j’identifie ce que l’on cherche. Je relis le problème et je repère la valeur inconnue. Ici, c’est la masse d’une boîte. Je sais qu’il y a trois boîtes identiques et que leur masse totale est de 21 kg.
Étape 2 : je choisis un symbole pour représenter l’inconnu. Je peux choisir celui que je veux, à condition de préciser ce qu’il signifie et de garder le même symbole tout au long du problème. Ici, je décide que le carré (□) représente la masse d’une boîte, en kilogrammes.
Étape 3 : j’écris la situation sous forme d’égalité. La balance est en équilibre : les deux plateaux ont la même masse, comme les deux côtés du signe égal. Les trois boîtes pèsent autant que 20 kg plus 1 kg. J’écris donc : 3 × □ = 21.
Étape 4 : je résous l’égalité. Je cherche quel nombre multiplié par 3 donne 21. Je calcule 21 ÷ 3 = 7. Le carré vaut donc 7 : chaque boîte pèse 7 kg.
Vérifier que les deux côtés sont égaux
Étape 5 : je vérifie. Je remplace le symbole par le nombre trouvé dans l’égalité de départ : 3 × 7 = 21. La balance reste à l’équilibre, donc la réponse est correcte.
La vérification est indispensable pour détecter une éventuelle erreur de raisonnement. Un bon mathématicien vérifie toujours son résultat !
Appliquons les cinq étapes à une nouvelle balance. Sur un plateau, il y a une boîte et un poids de 4 kg ; sur l’autre, un poids de 13 kg. Quelle est la masse de la boîte ? Choisis un symbole, écris une égalité, puis résous-la. Mets pause.
Réponse
Je représente la masse de la boîte par un carré : □ + 4 = 13. Je calcule 13 − 4 = 9, donc □ = 9 kg. Je vérifie : 9 + 4 = 13. L’égalité est vraie, la boîte pèse bien 9 kg.
Résoudre un problème avec deux symboles
Essayons maintenant avec deux symboles. On ne connaît ni la valeur du carré ni celle du triangle, mais on sait que □ + □ = 10 et que △ = □ × 3. Quelle est la valeur de chaque symbole ? Mets pause pour chercher.
Réponse
On commence par l’égalité qui ne comporte qu’un seul symbole : □ + □ = 10, donc 2 × □ = 10 et □ = 5. Ensuite, on remplace le carré dans la deuxième égalité : △ = 5 × 3 = 15. Vérification : 5 + 5 = 10 et 5 × 3 = 15. Les deux résultats sont corrects.
Exercices sur résoudre des problèmes algébriques
Passons aux exercices. Pour chaque situation, choisis un symbole, écris l’égalité et trouve sa valeur. Mets la vidéo sur pause pour essayer seul.
A. Camille a collecté quatre fois plus de points que Théo, qui en a 9. Combien de points Camille a-t-elle collectés ? B. Je divise un nombre par 6 et j’obtiens 8 : quel est ce nombre ? C. Une bibliothèque comptait 124 livres. On en retire un certain nombre et il en reste 87 : combien de livres a-t-on retirés ? D. Je multiplie un nombre par 5, puis j’ajoute 3 et j’obtiens 28 : quel est ce nombre ?
Réponse
A. □ = 4 × 9 = 36 : Camille a 36 points. B. □ ÷ 6 = 8, donc □ = 8 × 6 = 48 ; et 48 ÷ 6 = 8. C. 124 − □ = 87, donc □ = 124 − 87 = 37 livres. D. 5 × □ + 3 = 28. On retire 3 : 5 × □ = 25, puis on divise par 5 : □ = 5. Vérification : 5 × 5 + 3 = 28. Mets pause et compare avec tes réponses.
Voici un dernier problème à deux symboles. On sait que ○ + ○ + ○ = 18 et que △ = ○ × 4 − 6. Quelle est la valeur du rond et du triangle ? Commence par l’égalité qui n’a qu’un seul symbole. Mets pause.
Réponse
Puisque 3 × ○ = 18, le rond vaut 18 ÷ 3 = 6. Je remplace alors le rond dans l’autre égalité : △ = 6 × 4 − 6 = 24 − 6 = 18. Je vérifie : 6 + 6 + 6 = 18 et 6 × 4 − 6 = 18. Donc ○ = 6 et △ = 18.
Résumé : résoudre des problèmes algébriques
Je récapitule : l’algèbre sert à représenter un nombre inconnu avec un symbole ou une lettre pour pouvoir raisonner sur ce nombre.
Pour résoudre un problème, je suis cinq étapes : 1. J’identifie l’inconnu. 2. Je choisis un symbole. 3. J’écris l’égalité. 4. Je résous. 5. Je vérifie. L’égalité doit toujours correspondre à la situation décrite.
Quand un problème comporte deux symboles, je commence par l’égalité qui ne contient qu’une seule inconnue. À la fin, je remplace les symboles par les valeurs trouvées et je vérifie que les deux côtés sont égaux.
S’entraîner avec la fiche d’exercices Résoudre des problèmes algébriques
La prochaine fois que tu devras résoudre un problème mathématique, donne un nom à ce que tu cherches, écris ce que tu sais et laisse les mathématiques faire le reste. Ce n’est pas un chapitre évident : je te conseille de t’entraîner dans quelques jours avec la fiche d’exercices que tu trouveras sur maitrelucas.fr, sous cette vidéo. À très bientôt !